题目就是要我们求这个东西

$$
X=\max\limits_{i=1 ... n}\{|x_i|+|y_i|\}
$$

转化成切比雪夫坐标，即 $|x|+|y|=\max\{|x+y|,|x-y| \}$，就是这个

$$
X=\max\limits_{i=1 ... n}\{\max\{|x_i+y_i| ,|x_i-y_i| \}\}
$$

这个东西有个很漂亮的性质：$x+y,x-y$ 是相互独立的！设 $a=x+y,b=x-y$ 于是，二维平面上的随机游走，对应有 $1/2$ 的概率使得 $a=a+1$ 以及 $1/2$ 的概率使得 $a=a-1$，对于 $b$ 同理。

对于我们要求的东西就是 $X$ 的期望 $E(X)$，试着推推式子：

$$
\begin{align}
E(X)&=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot P\{X=k\} \\
&= 1\cdot P\{X=1\} + 2\cdot P\{X=2\}+...+n\cdot P\{X=n\} \\
&= \sum\limits_{i=1}^{n} P\{X=i\} + \sum\limits_{i=2}^{n} P\{X=i\} + ...+\sum\limits_{i=n}^{n} P\{X=i\} \\
&= \sum \limits _ {k=1}^{n} P\{X\ge k\} \\
&= \sum \limits _ {k=1}^{n} (1-P\{X < k\}) \\
&= n - \sum \limits _ {k=1}^{n} P\{X < k\} \\
&= n - \sum \limits _ {k=1}^{n-1} P\{X \le k\} \\
\end{align}
$$

嘛其实上面都是些很基础的推式子......

然后就考虑 $P\{X \le k\}$ 怎么求。由于 $a,b$ 独立，我们只需要考虑其中一个即可。

比如我们考虑 $a$，那么此时就将二维的随机游走变成了一维的随机游走（因为二维上每走一步都对应 $a$ 的加一或减一），并且这个点必须在 $[-k,k]$ 的范围内。

这个问题怎么求解？又转成二维平面来看，设这个点在一维中往右走一格对应二维中往右走一格，而在一维中往左走一格对应二维中往上走一格，于是 $[-k,k]$ 的限制就变成了在二维中这个点被夹在 $y=x-k,y=x+k$ 这两条直线中（可以在直线上，但不能穿过）。

然后，这就是个十分经典的问题了：

先只看其中一条线的限制情况。假设 $P$ 点坐标是 $(p,q)$，那么由图中来看，在交汇点之前，红色和蓝色都是关于 $y=x+(k+1)$ 对称（因为要求可以到 $y=x+k$，那么一旦到了 $y=x+(k+1)$ 就说明穿过去了，蓝色路径不合法）从原点到 $P$ 的所有路径（包括不合法）也就是 $\binom{x+y}{y}$，不合法的路径（即红线和蓝线有交，且交完之后两线重合一直到 $P$）一共有 $\binom{x+y}{y-(k+1)}$，于是所有合法路径数就是 $\binom{x+y}{y}-\binom{x+y}{y-(k+1)}$。

那对于两条线夹着怎么办？直接上容斥！可以分别算出所有情况，减去穿过 $y=x+(k+1)$ 或 $y=x-(k+1)$ 的情况，加上穿过 $y=x+2(k+1)$ 或 $y=x-2(k+1)$ 的情况，再加......总之也就对应下面这个式子：

$$
c_k=\sum\limits_{i=L}^{R}\binom{n}{i}+2\sum\limits_{j \ge 1}(-1)^{j} \sum\limits_{i=L}^{R}\binom{n}{i-(k+1)j}
$$

其中 $L,R$ 由下列不等式算出：

$$
\left\{\begin{matrix}
x+y=n \\
y\le x+k \\
y\ge x-k
\end{matrix}\right.
$$

得到 $L=\lceil(n-k)/2\rceil,R=\lfloor(n+k)/2\rfloor$。

再回到题目中的最后要求的这个 $P\{X\le k\}$，设 $p_k$ 表示一维随机游走中满足点始终在 $[-k,k]$ 内的概率，那么就有 $p_k=\frac{c_k}{2^{n}}$，而由于两个变量相互独立，于是就有 $P\{X\le k\}=p_k^{2}$。

于是，这个题就做完啦！至于时间复杂度，首先预处理 $sc(i)=\sum_{k=0}^{i}\binom{n}{k}$，计算 $c_k$ 的复杂度是一个调和级数，于是总的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log n)$。

好久没写这么长的题解了......

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ls id << 1
#define rs id << 1 | 1
#define mem(array, value, size, type) memset(array, value, ((size) + 5) * sizeof(type))
#define memarray(array, value) memset(array, value, sizeof(array))
#define fillarray(array, value, begin, end) fill((array) + (begin), (array) + (end) + 1, value)
#define fillvector(v, value) fill((v).begin(), (v).end(), value)
#define pb(x) push_back(x)
#define st(x) (1LL << (x))
#define pii pair<int, int>
#define mp(a, b) make_pair((a), (b))
#define Flush fflush(stdout)
#define vecfirst (*vec.begin())
#define veclast (*vec.rbegin())
#define vecall(v) (v).begin(), (v).end()
#define vecupsort(v) (sort((v).begin(), (v).end()))
#define vecdownsort(v, type) (sort(vecall(v), greater<type>()))
#define veccmpsort(v, cmp) (sort(vecall(v), cmp))
using namespace std;
const int N = 1000050;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll llinf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 998244353;
int MOD = 1e9 + 7;
const double PI = acos(-1.0);
clock_t TIME__START, TIME__END;
void program_end()
{
#ifdef ONLINE
    printf("\n\nTime used:
    system("pause");
#endif
}
ll ksm(ll a, ll b, int mod2=MOD)
{
    ll ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ret = ret * a
        a = a * a
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int n;
int fac[N],invfac[N],sumC[N];
int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*invfac[n-m
int ans;

void init()
{
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*
    invfac[n]=ksm(fac[n],MOD-2);for(int i=n-1;i>=1;--i)invfac[i]=1ll*invfac[i+1]*(i+1
    sumC[0]=C(n,0);for(int i=1;i<=n;++i)sumC[i]=(1ll*sumC[i-1]+C(n,i)
    ans=n;invfac[0]=1;
}
int add(int a, int b, int p = MOD) { return (a += b) >= p ? a -= p : a; }
int sub(int a, int b, int p = MOD) { return (a -= b) < 0 ? a += p : a; }
int mul(ll a, ll b, int p = MOD) { return add(a * b

int calck(int k)
{
    int L=(n-k+1)/2,R=(n+k)/2;
    int ret=sub(sumC[R],sumC[L-1]);
    int res=0;
    for(int j=1;(k+1)*j<=R;++j)
    { 
        if(j&1)res=sub(res,sub(sumC[R-(k+1)*j],L-1-(k+1)*j<0?0:sumC[L-1-(k+1)*j]));
        else res=add(res,sub(sumC[R-(k+1)*j],L-1-(k+1)*j<0?0:sumC[L-1-(k+1)*j]));
    }
    res=mul(res,2);
    ret=add(ret,res);
    return ret;
}

inline void solve()
{
    scanf(
    init();int res=0;int mu=ksm(ksm(2,2*n),MOD-2);
    for(int k=1;k<n;++k)
    {
        int ck=calck(k);
        ck = mul(ck,ck);
        ck=mul(ck,mu);
        res=add(res,ck);
    }
    cout<<sub(ans,res)<<'\n';
}

int main()
{
    TIME__START = clock();
    int Test = 1;
    scanf(
    while (Test--)
    {
        solve();
        // if (Test)
        //     putchar('\n');
    }
    TIME__END = clock();
    program_end();
    return 0;
}